Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10

LG a

Tìm tọa độ tâm và bán kính của $(C).$

Phương pháp giải:

Đường tròn $(C): \, {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm $I(a; \, b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $a = 2,b =  - 4,c =  - 5$

Đường tròn có tâm $I(2;-4)$, bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)}  = 5$

Cách khác:

${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2}$$= 25$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}$

 Tâm $I(2 ; -4)$, bán kính $R = 5$

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ đi qua điểm $A(-1; 0).$

Phương pháp giải:

Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không.

Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận $\overrightarrow {IA}$ làm VTPT.

Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận $\overrightarrow {IA}$ làm VTVPT.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ $A(-1 ; 0)$ vào vế trái, ta có :

$(-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25$

Vậy $A(-1 ;0)$ là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với (C) tại $A$ nhận $\overrightarrow {IA} ( - 3;4)$ làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:

$-3(x +1) +4(y -0) =0$$\Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0$

LG c

Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0.$

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: $d: \, 4x+3y+c=0.$

Khi đó ta có: $R = d\left( {I;\;d} \right).$

Từ đó ta tìm được ẩn $c$ hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n(3;-4)$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3} \right)$ là VTCP của d.

Tiếp tuyến $d'$ vuông góc với đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0$ nên VTPT $\overrightarrow {n'}=\overrightarrow {{u_d}}=(4;3)$ 

Phương trình $d'$ có dạng là: $4x+3y+c=0$

$d'$ tiếp xúc $(C)$

$\Leftrightarrow d(I,d')=R$ $\displaystyle  \Leftrightarrow {{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5$ $\Leftrightarrow |c - 4| = 25$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ c - 4 = 25 \hfill \cr  c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 29 \hfill \cr  c = - 21 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.

Loigiaihay.com