Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao

LG a

Phần thực của số phức z bằng ${1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)$, phần ảo của số phức z bằng ${1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);$

Phương pháp giải:

Giả sử $z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)$, tính các số phức ${1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)$ và ${1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)$, phần ảo của số phức z bằng ${1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)$ suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)$ thì $\overline z  = a - bi$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right)$ $= \frac{1}{2}\left( {a + bi + a - bi} \right) = a$ là phần thực của $z$.

$\frac{1}{{2i}}\left( {z - \overline z } \right)$ $= \frac{1}{{2i}}\left( {a + bi - a + bi} \right)$ $= \frac{1}{{2i}}.2bi = b$ là phần ảo của $z$.

LG b

Số phức z là số ảo khi và chỉ khi $z =  - \overline z ;$

Lời giải chi tiết:

z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \overline z$

Cách khác:

$z =- \overline z$ $\Leftrightarrow z + \overline z  = 0$ $\Leftrightarrow a + bi + a - bi =0$ $\Leftrightarrow 2a = 0$ $\Leftrightarrow a = 0$

LG c

Với mọi số phức z, z', ta có $\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} ,\,\overline {zz'}  = \overline z .\,\overline {z'}$, và nếu $z \ne 0$ thì ${{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $z=a+bi;\; z'=a'+b'i$ $(a,b,a',b'\in\mathbb R)$

Ta có:

$\eqalign{ & \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} \cr &= a + a' - (b + b')i \cr  &= a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr  & \overline {z.z'} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a' + b'i} \right)} \cr &= \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \cr  & = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i \cr  &  \overline z.\overline {z'}  = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right)\cr  & = aa' - a'bi - ab'i + bb'{i^2}\cr & = aa' - bb' - \left( {a'b + ab'} \right)i\cr & \Rightarrow \overline {z.z'}  = \overline z .\overline {z'} \cr &\overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } \cr &= {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr}$

 Loigiaihay.com