Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

${z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}$;               ${{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}$;                     ${{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}$

Lời giải chi tiết

* Ta có:

$\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}$

$\Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}$  là số thực.

Cách khác: Gọi $z=a+bi$

Ta có: ${z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2}$ $= {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2}$ $= 2{a^2} - 2{b^2}$

$= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)$ là số thực

* $\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}$ $= \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }}$ $= \frac{{\overline z  - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }}$ $= \frac{{\overline z  - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left( {\overline {\overline z } } \right)}^3}}}$ $=  - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}$

$\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}$ là số ảo.

*  $\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}$ $= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}}$ $=  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}}$

$\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}$ là số ảo.

Cách khác:

 Loigiaihay.com