Bài 58 trang 90 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A,\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = DC\) và \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

a) Chứng minh \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \(A,\, B,\, D, \,C\).

Lời giải chi tiết

                            

a) Vì tam giác ABC đều (gt) nên \(\widehat{ACB}=60^0\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2} .60^0= 30^0.\)  

 \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB} +\widehat{BCD}\)  (tia \(CB\) nằm giữa hai tia \(CA,\, CD\))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACD}=60^0+ 30^0=90^0\)  (1)

Do \(DB = CD\) nên \(∆BDC\) cân tại \(D\) \(\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{DCB} = 30^0\)

Từ đó \(\widehat{ABD}= 30^0+60^0=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) có \(\widehat{ACD}+ \widehat{ABD}=180^0\) nên tứ giác \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vì \(\widehat{ABD}  = 90^0\) nên \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Mà ABDC là tứ giác nội tiếp nên \(AD\) cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\) là trung điểm \(AD.\)