Bài 57 trang 55 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số:

$f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D=\mathbb R$

$f'(x)=6x^2+6x$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = - 1 \hfill \cr} \right.$

Bảng biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên $( - \infty ;-1)$ và $(0; + \infty )$

- Hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$

- Hàm số đạt cực tại $x=-1;y_{CĐ}=2$

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;y_{CT}=1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty$

Đồ thị giao trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$, đi qua điểm (-1;2).

Điểm uốn:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 <=> 12x+6=0

<=> x=-1/2 => y=3/2

LG b

Tìm các giao điểm của đường cong $(C)$ và parabol:

$(P):\,\,\,g\left( x \right) = 2{x^2} + 1$

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong $(C)$ và paraobol $(P)$ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \,\,\,\,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \cr&\Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 \cr  & \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr}$

Với $x = 0$ ta có $y = 1$; với $x =  - {1 \over 2}$ ta có $y = {3 \over 2}$

Ta có giao điểm $A(0;1)$ và $B\left( { - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)$

LG c

Viết phương trình các tiếp tuyến của $(C)$ và $(P)$ tại mỗi giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x;\,g'\left( x \right) = 4x$

$f'\left( 0 \right) = 0;\,g'\left( 0 \right) = 0$.

Đường thẳng $y = 1$ là tiếp tuyến chung của $(C)$ và $(P)$ tại điểm $A(0;1)$.

Ta có: $f'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2}$.

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $B$ là: 

$y =  - {3 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}$ hay $y =  - {3 \over 2}x + {3 \over 4}$

Lại có: $g'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - 2$.

Phương trình tiếp tuyến của parabol $(P)$ tại điểm $B$ là:

$y =  - 2\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}$ hay $y =  - 2x + {1 \over 2}$

LG d

Xác định các khoảng trên đó $(C)$ nằm phía trên hoặc phía dưới $(C)$.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu $f\left( x \right) - g\left( x \right)$

$= 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1$

$= 2{x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {2x + 1} \right)$

Xét dấu $f\left( x \right) - g\left( x \right)$:

Do đó $f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{2}$ nên trên khoảng $\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)$ thì $(C)$ nằm phía dưới $(P)$

$f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{1}{2}\\ x \ne 0 \end{array} \right.$ thì $f(x) > g(x)$ hay đồ thị (C) nằm phía trên (P) trên các khoảng $\left( { - {1 \over 2};0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Loigiaihay.com