Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = {{2x - 1} \over {x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$y' = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}}>0\,\,\forall x\in D$

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $( - 1; + \infty )$

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2$ 

Tiệm cận đứng $y=2$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr}$

Tiệm cận đứng: $x=-1$

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Ox$ tại điểm $\left( {{1 \over 2};0} \right)$

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;-1)$

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;2) làm tâm đối xứng. 

LG b

Với các giá trị nào của $m$, đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ đi qua điểm $A(-2;2)$ và có hệ số góc $m$ cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ qua điểm $A(-2;2)$ có hệ số góc $m$ là:

$y - 2 = m\left( {x + 2} \right)$ hay $y = mx + 2m + 2$

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

$\eqalign{ & mx + 2m + 2 = {{2x - 1} \over {x + 1}} \cr  & \Rightarrow \left( {mx + 2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x - 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr  & \Leftrightarrow  m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \cr}$

• Đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$, tức là

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta > 0\\ f\left( { - 1} \right) \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 9{m^2} - 4m\left( {2m + 3} \right) > 0\\ m.{\left( { - 1} \right)^2} + 3m.\left( { - 1} \right) + 2m + 3 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} - 12m > 0\\ 3 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 12\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 12\\ m < 0 \end{array} \right.(*) \end{array}$

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng $x = -1$ của đồ thị.

$\Leftrightarrow$ Đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

$\Leftrightarrow$ (1) có hai nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} <  - 1 < {x_2}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\cr&\Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \cr  & \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \cr&\Leftrightarrow {{2m + 3} \over m} - {{3m} \over m} + 1 < 0 (\text{  Vi-et   })\cr  & \Leftrightarrow {3 \over m} < 0 \cr}$

Kết hợp với (*) được $m < 0$

Vậy với $m < 0$ thì $\left( {{d_m}} \right)$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

Cách khác:

$\Leftrightarrow$ (1) có hai nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} <  - 1 < {x_2}$

⇔ af(-1)<0

⇔ m(m(-1)²+3m(-1)+2m+3)<0

⇔ 3m<0 ⇔ m < 0

Vậy với m ∈(-∞;0) thì đường thẳng (d_m) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.

Loigiaihay.com