Bài 55 trang 89 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $M,$ biết $\widehat {DAB}= 80^0$, $\widehat {DAM}= 30^0,$  $\widehat {BMC}= 70^0$.

Hãy tính số đo các góc $\widehat {MAB},$  $\widehat {BCM},$  $\widehat {AMB},$  $\widehat {DMC},$  $\widehat {AMD},$  $\widehat {MCD}$ và $\widehat {BCD}.$

Lời giải chi tiết

                      

Vì AM nằm giữa AD và AB nên  $\widehat {MAB}+\widehat {DAM}= \widehat {DAB}$. Do đó, $\widehat {MAB} = \widehat {DAB} - \widehat {DAM} = {80^0} - {30^0} = {50^0}$ (1)

+)  $∆MBC$ là tam giác cân  cân tại $M$ $(MB= MC)$ nên $\displaystyle \widehat {BCM} = {{{{180}^0} - {{70}^0}} \over 2} = {55^0}$ (2)

+)  $∆MAB$ là tam giác cân tại $M$ $(do MA=MB)$ nên $\widehat {MAB} =\widehat {ABM} = {50^0}$ (theo (1))

Vậy $\widehat {AMB} = {180^0} - {2.50^0} = {80^0}.$

Ta có: $\widehat {BAD}=\dfrac{sđ\overparen{BCD}}{2}$ (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn).

$\Rightarrow sđ\overparen{BCD}=2.\widehat {BAD} = {2.80^0} = {160^0}.$  

Mà $sđ\overparen{BC}= \widehat {BMC} = {70^0}$ (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Vậy $sđ\overparen{DC}={160^0} - {70^0} = {90^0}$ (vì C nằm trên cung nhỏ cung $BD$).

$\Rightarrow$ $\widehat {DMC} = {90^0}.$               (4)

Ta có: $∆MAD$ là tam giác cân cân tại $M$ $(MA= MD).$ 

$\Rightarrow$ $\widehat {AMD} = {180^0} - {2.30^0}=120^0$   (5)

Có $∆MCD$ là tam giác vuông cân tại $M$ $(MC= MD)$ và $\widehat {DMC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ $\widehat {MCD} = \widehat {MDC} = {45^0}.$  (6)

Theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia $CB, \, CD$ ta có: $\widehat {BCD} =\widehat{BCM}+\widehat{MCD} = 55^0+45^0 = {100^0}.$