Bài 54 trang 89 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{ABC}+ \widehat{ADC}= 180^0$. Chứng minh rằng các đường trung trực của $AC,\, BD, \,AB$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

 

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{ABC}+ \widehat{ADC}= 180^0$ mà hai góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$, khi đó $OA=OB=OC=OD$ (cùng bằng bán kính của đường tròn $(O)$ )

+ Vì   $OA = OB$ nên $O$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$ (định lí)

+ Vì   $OA = OC$ nên $O$ thuộc đường trung trực của đoạn $AC$ (định lí)

+ Vì   $OD = OB$ nên $O$ thuộc đường trung trực của đoạn $BD$ (định lí)

Do đó các đường trung trực của $AB, \, BD, \, AC$ cùng đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$.