Bài 51 trang 77 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ không nằm trên $d$. Hình 46 minh họa cho cách dựng: đường thẳng đi qua điểm $P$ và vuông góc với đường thẳng $d$ bằng thước và compa như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm $P$ với bán kính thích hợp sao cho nó có cắt $d$ tại hai điểm $A$ và $B$

(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm $A$ và $B$ sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là $C\; ( C ≠ P )$.

(3) Vẽ đường thẳng $PC$

Em hãy chứng minh đường thẳng $PC$ vuông góc với $d$.

Đố: Tìm thêm một cách dựng nữa (bằng thước và compa)

Lời giải chi tiết

a) 

 

$A, B$ nằm trên cung tròn có tâm $P$ nên $PA = PB.$

Do đó P nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí $2$) 

$C$ là giao điểm của $2$ cung có bán kính bằng nhau có tâm tại $A$ và tại $B$ nên $CA = CB.$

Do đó C nằm trên đường trung trực của AB (Theo định lí $2$)

$\Rightarrow$ $P; C$ đều nằm trên đường trung trực của AB.  

$\Rightarrow$ Đường thẳng $CP$ là đường trung trực của $AB$ 

Do đó: $PC ⊥ d$

b) Một cách vẽ khác

- Lấy hai điểm $A, B$ bất kì trên $d.$

- Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $AP$, cung tròn tâm $B$ bán kính $BP$. Hai cung tròn cắt nhau tại $C$ ($C$ khác $P$).

- Vẽ đường thẳng $PC$. Khi đó $PC$ là đường đi qua $P$ và vuông góc với $d.$

Chứng minh :

$PA = CA$ (vì $P,C$ cùng thuộc cung tròn tâm $A$ bán kính $PA$)

$⇒ A$ thuộc đường trung trực của $PC$ (Theo định lí 2) 

$PB = CB$ (vì $P, C$ cùng thuộc cung tròn tâm $B$ bán kính $PB$)

$⇒ B$ thuộc đường trung trực của $PC$ (Theo định lí 2)

$⇒ AB$ là đường trung trực của $PC$

$⇒ PC ⏊ AB$ hay $PC ⏊ d.$

Loigiaihay.com