Giải bài 5 trang 88 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hai đường tròn ${C_1}({F_1};{R_1})$  và ${C_2}({F_2};{R_2})$. $C_1$ nằm trong $C_2$ và $F_1≠  F_2$. Đường tròn $(C)$  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với $C_1$ và tiếp xúc trong với $C_2$.Hãy chứng tỏ rằng tâm $M$ của đường tròn $(C)$ di động trên một elip.

Lời giải chi tiết

 

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn $(C)$

$(C)$ và $C_1$ tiếp xúc ngoài với nhau

$\Rightarrow$$MF_1= R_1+ R$  (1)

$(C)$ và $C_2$ tiếp xúc trong với nhau

$\Rightarrow$$MF_2= R_2- R$  (2)

Từ (1) và (2) ta được 

$M{F_1} + M{F_2} = ({R_1}+R) + ({R_2}-R)$ $=R_1+R_2$ không đổi.

Điểm M có tổng các khoảng cách $M{F_1} + M{F_2}$ đến hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ bằng một độ dài không đổi ${R_1} + {R_2}.$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường elip, có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$   và có tiêu cự $F_1F_2= R_1+R_2.$

Loigiaihay.com