Giải bài 5 trang 68 SGK Giải tích 12

LG a

a) Cho \(a = {\log_{30}}3,b = {\log_{30}}5\). Hãy tính \{\log_{30}}1350\) theo \(a, b\).

Phương pháp giải:

+) Biến đổi các biểu thức logarit cần tính thông qua các logarit đề bài đã cho nhờ các công thức biến đổi cơ bản của logarit.

+) Thế các giá trị a, b vào biểu thức vừa biến đổi được ta tính được giá trị của biểu thức logarit cần tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(1350 = 30.3^2 .5\) suy ra

\({\log_{30}}1350 ={\log_{30}}(30.{3^2}.5) \\= \log_{30}30 + \log_{30}3^2+\log_{30}5\\ =1 + 2{\log_{30}}3 + {\log_{30}}5 = 1 + 2a+b.\)

LG b

b) Cho \(c ={\log_{15}}3\). Hãy tính \({\log_{25}}15\) theo \(c\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\log_{25}}15  = \dfrac{1}{\log_{15}25}=\dfrac{1}{\log_{15}5^2} \\= \dfrac{1}{2\log_{15}5}= \dfrac{1}{2\log_{15}\left ( 15: 3 \right )} \) \(= \dfrac{1}{2\left (\log_{15}15-log_{15}3 \right )} \\ = \dfrac{1}{2\left (1-\log_{15}3 \right )} = \dfrac{1}{2\left (1-c \right )}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\log _{25}}15 = {\log _{{5^2}}}15 = \frac{1}{2}{\log _5}15\\
= \dfrac{1}{2}{\log _5}\left( {5.3} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_5}5 + {{\log }_5}3} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_5}3} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\
c = {\log _{15}}3\\
\Rightarrow \dfrac{1}{c} = {\log _3}15 = {\log _3}\left( {3.5} \right)\\
= {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\\
\Rightarrow {\log _3}5 = \dfrac{1}{c} - 1 = \dfrac{{1 - c}}{c}\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{{{\log }_3}5}} = \dfrac{c}{{1 - c}}\\
\Rightarrow {\log _5}3 = \dfrac{c}{{1 - c}}\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\log _{25}}15 = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_5}3} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{c}{{1 - c}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{1 - c + c}}{{1 - c}}\\
= \dfrac{1}{{2\left( {1 - c} \right)}}
\end{array}\)

Loigiaihay.com