Bài 5 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

LG a

Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\); khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → -∞\);

khi \(x → -3^+\) thì \(f(x)  → +∞\).

LG b

Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

Phương pháp giải:

Tính các giới hạn, sử dụng quy tắc tính giới hạn được học và kết luận.

Lời giải chi tiết:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x\left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {x - \dfrac{9}{x}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{x - \dfrac{9}{x}}}\)

Mà \({\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right) = 1}\)

và \({\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - \dfrac{9}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x\left( {1 - \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  - \infty }\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) \)\(=0\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3 + 2 = 5 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0\); \({x^2} - 9 < 0\) khi \(x<3\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)=-\infty \).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {x + 2} \right) = -3 + 2 = -1 < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0\); \({x^2} - 9 < 0\) khi \(x>-3\)

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right)=+\infty \).

Cách khác:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\) \(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}} = 0\).

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)  =  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{1}{x-3} = -∞ \)

vì  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x+3}\) = \(\dfrac{5}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \dfrac{1}{x-3} = -∞\).

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x-3}\) . \(\dfrac{1}{x+3} = +∞\) 

vì  \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x-3}\) = \(\dfrac{-1}{-6}\) = \(\dfrac{1}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{1}{x+3} = +∞\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close