Bài 5 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi $x → -∞$, $x → 3^-$ và $x → -3^+$

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy $x → -∞$ thì $f(x) → 0$; khi $x → 3^-$ thì $f(x) → -∞$;

khi $x → -3^+$ thì $f(x)  → +∞$.

Quảng cáo

LG b

Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-\infty; -3)$,

$\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-3,3)$,

$\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)$ với $f(x)$ được xét trên khoảng $(-3; 3)$.

Phương pháp giải:

Tính các giới hạn, sử dụng quy tắc tính giới hạn được học và kết luận.

Lời giải chi tiết:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x\left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {x - \dfrac{9}{x}} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{x - \dfrac{9}{x}}}$

Mà ${\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \dfrac{2}{x}} \right) = 1}$

và ${\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - \dfrac{9}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x\left( {1 - \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  - \infty }$

nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right)$$=0$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3 + 2 = 5 > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0$; ${x^2} - 9 < 0$ khi $x<3$

nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right)=-\infty$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 9}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {x + 2} \right) = -3 + 2 = -1 < 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} \left( {{x^2} - 9} \right) = 0$; ${x^2} - 9 < 0$ khi $x>-3$

nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {(-3)^ + }} f\left( x \right)=+\infty$.

Cách khác:

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}$ $\dfrac{x+2}{x^{2}-9}$ = $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}$ $\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}} = 0$.

$\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}$$\dfrac{x+2}{x^{2}-9}$  =  $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}$ $\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{1}{x-3} = -∞$

vì  $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}$$\dfrac{x+2}{x+3}$ = $\dfrac{5}{6} > 0$ và $\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \dfrac{1}{x-3} = -∞$.

$\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x) =$ $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}$ $\dfrac{x+2}{x^{2}-9}$ = $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}$ $\dfrac{x+2}{x-3}$ . $\dfrac{1}{x+3} = +∞$ 

vì  $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}$ $\dfrac{x+2}{x-3}$ = $\dfrac{-1}{-6}$ = $\dfrac{1}{6} > 0$ và $\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}$ $\dfrac{1}{x+3} = +∞$.

Loigiaihay.com