Bài 49 trang 49 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : $y = {{x - 2} \over {2x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  + \infty$ nên đường thẳng $x =  - {1 \over 2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 2}$ nên đường thẳng $y = {1 \over 2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

$y' = {{1.1-2.(-2)} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0$ với mọi $x \ne  - {1 \over 2}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)$ và $\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)$
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$ và cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$.

LG b

Chứng minh rằng giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị $I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)$
Công thức đổi trục tọa độ theo vecto $\overrightarrow {OI}$ là:

$\left\{ \matrix{ x = X - {1 \over 2} \hfill \cr  y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Phương trình của đồ thị $(C)$ đối với trục $IXY$:

$Y + {1 \over 2} = {{X - {1 \over 2} - 2} \over {2\left( {X - {1 \over 2}} \right) + 1}}$ $\Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X - {5 \over 2}} \over {2X}} = \frac{1}{2} - \frac{5}{{4X}}$ $\Leftrightarrow Y =  - {5 \over {4X}}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com