Bài 53 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = {{x + 1} \over {x - 2}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}$
Tiệm cận đứng $x = 2$ vì:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = + \infty \end{array}$

Tiệm cận ngang $y = 1$ vì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 1$

$y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0$ với mọi $x \ne 2$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

Điểm đặc biệt: $A\left( {0; - {1 \over 2}} \right),\,B\left( { - 1;0} \right)$

Đồ thị nhận điểm $I(2;1)$ làm tâm đối xứng.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm $A$ của đồ thị với trục tung.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của đồ thị với trục tung $A\left( {0; - {1 \over 2}} \right)$

$y'\left( 0 \right) =  - {3 \over 4}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại $A$ là:

$y + {1 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 0} \right)$ $\Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x - {1 \over 2}$

LG c

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm $A$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $M$ là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại $A$ ta có:

$y'\left( {{x_M}} \right) =  - {3 \over 4}$ $\Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_M} - 2 = 2 \hfill \cr  {x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_M} = 4 \hfill \cr  {x_M} = 0\,\,(\text{ loại vì }{x_A} = 0) \hfill \cr} \right.$

$y\left( 4 \right) = {5 \over 2}$. Vậy $M\left( {4;{5 \over 2}} \right)$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là: $y - {5 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 4} \right)$ $\Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}$

Loigiaihay.com