Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) Hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.

b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Trọng tâm là giao điểm của các đường trung tuyến.

c) Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng của đỉnh đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: BB' // DD' (cùng // CC') và BB' = DD' (cùng = CC') nên BB'D'D là hình bình hành

Suy ra BD // B'D'. Nên BD // (B'D'C) (1)

BC // A'D' (cùng // AD) và BC = A'D' (cùng = AD) nên BCD'A' là hình bình hành

Suy ra A'B // CD'. Nên A'B // (B'D'C) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BDA') song song với (B'D'C)

b) Gọi O, O' lần lượt là giao điểm của AC và BD, A'C' và B'D'. Suy ra O, O' là trung điểm của AC, A'C'

Gọi I là giao điểm của AC' và A'C

AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của AC' và A'C

Nên AI và A'O là trung tuyến của tam giác AA'C

Mà G1 là trọng tâm tam giác BDA'. Suy ra G1 là giao điểm của AI và A'O

Tương tự, G2 là giao điểm của CO' và C'I

G1 thuộc AI, G2 thuộc CI nên G1 và G2 đều thuộc AC'.

c) G1 và G2 là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C nên \(A{G_1} = \frac{2}{3}AI,{G_1}I = \frac{1}{3}AI\) và \(C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I,{G_2}I = \frac{1}{3}CI\)

Ta có: \({G_1}I + {G_2}I = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}CI = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}AI = \frac{2}{3}AI\)

Suy ra AG1 = G1G2 = C'G2 (cùng = \(\frac{2}{3}AI\))

Vậy G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

  • Bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

    Sau khi gắn kệ treo tường bằng gỗ (Hình 4.87), bạn Nam chuẩn bị đặt đồ trang trí lên nhưng lại lo lắng kệ bị nghiêng, các đồ đạc sẽ bị rơi vỡ. Bạn Bình đề xuất với bạn Nam:

  • Bài 4.18 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD.

  • Bài 4.17 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn là AD, AD = 2BC. Gọi I, K, L lần lượt là trung điểm của đoạn AD, SA, SD. Chứng minh rằng (SAB) // (ILC) và (SCD) // (BIK).

  • Giải mục 4 trang 112, 113, 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha'}\right)\). Trên \(\left( \alpha \right)\), lấy tam giác ABC. Qua các đỉnh A, B, C, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt tại A, B, C. Các tứ giác ABB′A′, BCC′B′, ACC′A′ là hình gì? Hãy nhận xét về hai tam giác ABC và A′B′C′.

  • Giải mục 3 trang 110, 111 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

    Cho ba mặt phẳng dôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng d, d' lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Gọi B1, là giao điểm của đường thẳng AC' và mặt phẳng (Q). Tìm mối liên hệ giữa các tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close