Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)$;

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = {1 \over x} - 1$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {1 \over x} - 1 \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}dx$ $\Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} =  - du$
Do đó $\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)dx =  - \int {\cos udu}$ $=  - \sin u + C =  - \sin \left( {{1 \over x} - 1} \right)  + C$

Cách 2: Đưa vào vi phân

LG b

$y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}$;

Phương pháp giải:

Đổi biến $u=1+x^4$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx$ $\Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}$

$\int {{x^3}{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^3}dx}= {1 \over 4}\int {{u^3}du}$ $= {{{u^4}} \over {16}} + C$ $= {1 \over {16}} {\left( {1 + {x^4}} \right)^4} + C$

Cách 2: Đưa vào vi phân

LG c

$y = {{x{e^{2x}}} \over 3}$; 

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần tính nguyên hàm: 

Đặt $\left\{ \matrix{u = {x \over 3} \hfill \cr dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x \over 3} \hfill \cr  dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over 3}dx \hfill \cr  v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.$

Suy ra: $\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}}dx$ $= {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx}$ $= {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over {12}}{e^{2x}} + C$

LG d

$y = {x^2}{e^x}$.

Phương pháp giải:

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Suy ra $\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} }$   (1)

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Do đó: $\int {x{e^x}dx }$ $= x{e^x} - \int {{e^x}dx}$ $= x{e^x} - {e^x} + C_1$

Từ (1) suy ra $\int {{x^2}{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C$ $= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C$

 Loigiaihay.com