Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);$

Lời giải chi tiết:

$\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }$ $= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C$ $= {x^2} + {2 \over x} + C$

LG b

 $y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};$

Lời giải chi tiết:

$\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx$ $= \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C$ $= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C$

LG c

$y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = {x^{{3 \over 2}}} + 1$

Lời giải chi tiết:

Đặt 

$u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx$ $\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du$

$\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx}$$= \frac{2}{3}\int {\sin udu}$  $=  - \frac{2}{3}\cos u + C$ $=  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C$

Cách 2: Đưa vào vi phân

$\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx}$$= \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx}$ $= \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)}$ $= \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C$ $=  - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C$

LG d

$y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u=\cos (2x+1)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \cos \left( {2x + 1} \right)$ $\Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx$ $\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du$

Do đó 

$\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx}$$= \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du}$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C$  $= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C$

Cách khác: Đưa vào vi phân

$\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx}$$= \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}}$ $=  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}}$ $=  - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C$ $= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C$

  Loigiaihay.com