Bài 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho ba điểm $A, O, B$ thẳng hàng theo thứ tự đó, $OA = a, OB = b$ ($a,b$ cùng đơn vị: cm).

Qua $A$ và $B$ vẽ theo thứ tự các tia $Ax$ và $By$ cùng vuông góc với $AB$ và cùng phía với $AB$. Qua $O$ vẽ hai tia vuông gaóc với nhau và cắt $Ax$ ở $C$, $By$ ở $D$ (xem hình 116).

a) Chứng minh $AOC$ và $BDO$ là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích $AC.BD$ không đổi.

b) Tính diện tích hình thang $ABDC$ khi $\widehat {COA} = {60^0}$ 

c) Với $\widehat {COA} = {60^0}$ cho hình vẽ quay xung quanh $AB$. Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác $AOC$ và $BOD$ tạo thành

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông $AOC$ và $BDO$ ta có: $\widehat A = \widehat B = {90^0}$ 

 $\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}$ (cùng phụ với $\widehat{BOD}$).

Vậy $∆AOC$ đồng dạng $∆BDO \, \, (g-g).$ 

$\displaystyle \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) $\displaystyle\Rightarrow {{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}$ (1)

Vậy $AC . BD = a . b$ không đổi.

b) Khi $\widehat {COA} = 60^\circ$ , xét tam giác vuông $ACO$ ta có $\tan \widehat {AOC} = \dfrac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \tan 60^\circ  = \dfrac{{AC}}{a} \Rightarrow AC = a\sqrt 3$

mà $AC.BD = ab$ (câu a) nên $a\sqrt 3 .BD = ab \Rightarrow BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}$

Ta có công thức tính diện tích hình thang $ABCD$ là: 

$\eqalign{ & S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = \displaystyle {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left( {a + b} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over 6}\left( {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\left( {c{m^2}} \right) \cr}$

c) Theo đề bài ta có:

Tam giác $AOC$ khi quay quanh cạnh $AB$ tạo thành hình nón có chiều cao $OA = a$ và bán kính đáy $AC = a\sqrt 3$  nên thể tích hình nón là ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .OA.A{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi .a.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \pi {a^3}\left( {c{m^3}} \right)$

Tam giác $BOD$ khi quay quanh cạnh $AB$ tạo thành hình nón có chiều cao $OB = b$ và bán kính đáy $BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}$  nên thể tích hình nón là ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .OB.B{D^2} = \dfrac{1}{3}\pi .b.{\left( {\dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {b^3}}}{9}\left( {c{m^3}} \right)$

Do đó $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\dfrac{{\pi {b^3}}}{9}}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{{b^3}}}$

Loigiaihay.com