Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12

Đề bài

Hình chóp $S.ABC$ có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh $SA, SB, SC$ và tiếp xúc với ba cạnh $AB, BC, CA$ tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$; $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$, các điểm $D, E, F$ đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.

Ta có:

$AD = AF$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  $\Rightarrow AB = AC$

Tương tự: $BD = BE \Rightarrow  BC = AB$

$\Rightarrow  AB = BC = CA$ hay $△ABC$ là tam giác đều  (1)

Lại có $AM = AD; BN = BD = AD$

và $SM = SN = SP$

$\Rightarrow  SM + AM = SN + NB$ hay $SA = SB$

Chứng minh tương tự ta có: $SA = SB = SC$.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp $S.ABC$ là chóp tam giác đều.

Loigiaihay.com