Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10

Chứng minh các đẳng thức

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đẳng thức

LG a

\( \dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức \(\cos (a+b)\) với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho \(\sin a \sin b\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} + \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} - \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}\\
= \dfrac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}} 
\end{array}\)

Cách khác:

Có thể biến đổi ngược lại từ VP thành VT như sau:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \dfrac{{\frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}\\
= \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}:\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}\\
= \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}.\frac{{\sin a\sin b}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\\
= \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}
\end{array}\)

LG b

\(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b \)\(= \cos^2b – \cos^2a\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)

+) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

\(VT = (\sin a\cos b + \cos a\sin b).\)\((\sin a\cos b - \cos a\sin b) \) \( = (\sin a\cos b)^2– (\cos a\sin b)^2 \) \( = {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)\( = \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b\) \( = {\sin ^2}a - {\sin ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\sin ^2}a{\sin ^2}b\) \(= \sin^2a – \sin^2b \, \, (đpcm) \)

Lại có:

\( {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)

\( = ( 1– \cos^2a)\cos^2b  – \cos^2 a(1 – \cos^2 b) \) \(= {\cos ^2}b - {\cos ^2}b{\cos ^2}a - {\cos ^2}a + {\cos ^2}a{\cos ^2}b\)

\( =  \cos^2 b – \cos^2 a \, \, (đpcm). \)

Hoặc từ \( VT = \sin^2a – \sin^2b\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= 1 - {\cos ^2}a - 1 + {\cos ^2}b\\
= {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\\
\Rightarrow VT = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\left( {dpcm} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) - \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\\
= - \dfrac{1}{2}\left( { - 2{{\sin }^2}a + 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\cos ^2}a + {\cos ^2}b
\end{array}\)

suy ra đpcm.

LG c

\(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b\)\( = \cos^2b – \sin^2a\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \( \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)

+) \( \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\)

Lời giải chi tiết:

\(VT = (\cos a\cos b - \sin a\sin b).(\cos a\cos b + \sin a\sin b) \) \( = (\cos a\cos b)^2 – (\sin a\sin b)^2\)

\(\begin{array}{l}
= {\cos ^2}a{\cos ^2}b - {\sin ^2}a{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\cos ^2a}{\sin ^2}b\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)\\
= \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= - {\sin ^2}a + {\cos ^2}b\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\
= \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 1 - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 2{{\sin }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\\
= \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\
= {\cos ^2}b - {\sin ^2}a
\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close