Bài 3.12 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục

Quảng cáo

Đề bài

Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\)

b) \(g\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \)

c) \(h\left( x \right) = {x^2} + \cot x\)

d, \(t\left( x \right) = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {x - 2\sqrt x } \right)\)

e) \(u\left( x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm đa thức liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Hàm số \(y = \sin x,\,\,y = \cos x\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = \tan x,\,\,y = \cot x\) liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng và \(f\left( x \right) \ge 0\),\(\forall x \in K\). Khi đó hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) liên tục trên \(K\)

 Hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số \(y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) cũng liên tục trên khoảng K

Lời giải chi tiết

a, 

Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)

b, 

Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 9x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 0\end{array} \right.\)

Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Ngoài ra, vì \({x^2} - 9x \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) nên \(y = \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

Do đó, hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)

c, 

Điều kiện xác định là \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Hàm số \(y = {x^2}\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Hàm số \(y = \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Do đó, hàm số \(y = {x^2} + \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

d, 

Điều kiện xác định \(x \ge 0\). Tập xác định \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(t\left( x \right) = {x^2} - 4x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

e, 

Điều kiện xác định \(x > 0\). Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Vì hàm số \(y = \sin 2x\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Hàm số \(y = \sqrt x \) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Nên hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close