Bài 31 trang 23 SGK Toán 8 tập 2

LG a.

$\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: $A(x).B(x)=0$

$\Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) =0$

Lời giải chi tiết:

$\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$ (1)

Ta có: $x - 1 ≠ 0 \Leftrightarrow x ≠ 1$ và ${x^3} - 1 \ne 0$ khi $x^3 \ne 1$ hay $x \ne 1$

${x^2+x + 1} = {{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}}$

$=  {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}$

$= {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}$ 

Ta có: ${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi $x \in\mathbb R$ nên ${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Do đó: 

ĐKXĐ:  $x ≠ 1$

MTC= ${x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1)$

Ta có:

(1) $\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}$

$\Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right)$

$\Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x$

$\Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1$

$\Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 1 = 0 \hfill \\ 4x + 1 = 0 \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ 4x = - 1 \hfill \\  \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1}\text{( loại)} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\cr} }\right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - \dfrac{1}{4}$

LG b.

$\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: $A(x).B(x)=0$

$\Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) =0$

Lời giải chi tiết:

$\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ (2)

ĐKXĐ: $x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3$

MTC= $(x-1)(x-2)(x-3)$

Ta có: (2) 

$\Rightarrow 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1$

$\Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1$

$\Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1$

$\Leftrightarrow 5x - x =  - 1 + 13$

$⇔ 4x = 12$

$\Leftrightarrow x = 12:4$

$⇔ x = 3$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

LG c.

$1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: $A(x).B(x)=0$

$\Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) =0$

Lời giải chi tiết:

$1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$(3)

Ta có:  $8 + {x^3} \ne 0$$\Leftrightarrow x^3  ≠ -8 ⇔ x ≠ -2$

ĐKXĐ: $x ≠ -2$

MTC= $8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4)$

Ta có: (3) $\Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

$\Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12$

$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4$

$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0$

⇔$x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0$

⇔ $x(x + 2)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x + 2 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( \text{ thỏa mãn} \right)\\ x = - 2\left( \text{ loại} \right)\\ x = 1\left( \text{ thỏa mãn} \right) \end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

LG d.

$\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}$$\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: $A(x).B(x)=0$

$\Leftrightarrow A(x) = 0$ hoặc $B(x) =0$

Lời giải chi tiết:

$\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}$$\,= \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ (4)

ĐKXĐ: $x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - \dfrac{7}{2}$

MTC= ${\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}\left( {2x + 7} \right)$

Ta có: (4)

$\Rightarrow 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$$= 6\left( {2x + 7} \right)$

$\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42$

$\Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 = 12x + 42$

$\Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 - 12x - 42 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 3 = 0\\ x + 4 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\left( \text{không thỏa mãn} \right)\\ x = - 4\left( \text{thỏa mãn} \right) \end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{-4 \right\}$. 

Loigiaihay.com