Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Quảng cáo

Đề bài

Trên hình \(82\), tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((O)\).

a) Chứng minh rằng:

\(2AD=AB+AC-BC.\)

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: Nếu \(AB,\ AC\) là hai tiếp tuyến của \((O)\) lần lượt tại \(A,\ B\) thì ta có: \(AB=AC\)

+) Chu vi tam giác \(ABC\) là \(C_{\Delta{ABC}}=AB+AC+BC\)

Lời giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(AB,\ BC,\ AC\) lần lượt là tiếp tuyến tại \(D,\ E,\ F\) của đường tròn.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 

\(AD=AF;\ DB=BE;\ FC=CE.\)

Xét vế phải:

\(VP=AB+AC-BC\)

\(=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)\)

Thay \(DB=BE,\ FC=CE\) vào biểu thức trên, ta được:

\(VP=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)\)

\(=AD+BE+AF+CE-BE-EC\)

\(=AD+AF+(BE-BE)+(CE-EC)\)

\(= AD+AF=2AD=VT.\) (Do \(AD=AF)\)

Vậy \(2AD=AB+AC-BC.\)

b) Các hệ thức tương tự là:

\(2BD=BA+BC-AC;\)

\(2CF=CA+CB-AB.\)

Nhận xét. 

Đặt \(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\), \(AB=c;\ BC=a;\ CA=b\).

Ta có: \(2AD=AB+AC-BC\)

\(=(AB+AC+BC)-2BC\)

\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-\dfrac{2BC}{2}\)

\(\Leftrightarrow AD=p-BC\) hay \(AD=p-a\).

Tương tự ta có các kết quả sau:

\(AD=AF=p-a;\)

\(BD=BE=p-b;\)

\(CE=CF=p-c.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close