Bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải:

Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính $u_n$ lần lượt tại $n=1;2;3;4$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$u_2 = \sqrt {1 + u_1^2} = \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}$

$u_3= \sqrt {1 + u_2^2}= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}$

$u_4= \sqrt {1 + u_3^2}= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}$

$u_5= \sqrt {1 + u_4^2}= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}$

Năm số hạng đầu của dãy số là $u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};$ $u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}$

Quảng cáo

LG b

Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị $u_1;u_2;u_3;u_4;u_5$ dự đoán công thức tổng $u_n$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}$

$u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}$

$u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}$

$u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}$

$u_5= \sqrt{13} = \sqrt{5 + 8}$

...........

Từ trên ta dự đoán $u_n= \sqrt{n + 8}$, với $n \in {\mathbb N}^*$   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với $n = 1$, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là có  $u_k = \sqrt{k + 8}$ với $k ≥ 1$, ta cần chứng minh $u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có:

$u_{k+1}=  \sqrt{1+u^{2}_{k}}$ $=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}$

$= \sqrt {1 + k + 8}$ $=\sqrt{(k+1)+8}$.

Như vậy công thức (1) đúng với $n = k + 1$.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

 Loigiaihay.com