Bài 3 trang 45 SGK Hình học 10

Giải bài 3 trang 45 SGK Hình học 10. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).

LG a

Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);

Phương pháp giải:

Sửa dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý: \[\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\]

Lời giải chi tiết:

AB là đường kính nên \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\)

Ta có: \({\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} } \right) \)

\(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {BM} \) (do AM\(\bot\) MB) nên \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM}  = 0\) 

Từ đó: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}+0 \) \(= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AN} } \right) \)\(= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {AN} \) (vì BN \(\bot\) NA) nên \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN}  = 0\)

Từ đó: \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  =  \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}+0 \)\(=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\).

LG b

 Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a suy ra đáp án, chú ý \[\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\]

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr &  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài