Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi $ABCD$ và có $SA=SB=SC=SD$.Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$;

b) Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ và đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $SAC$.

Lời giải chi tiết

a) $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$.

$O$ là giao của hai đường chéo hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Do đó $SO$ vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác $SAC$ hay $SO\bot AC$

Chứng minh tương tự ta được: $SO\bot BD$

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} SO \bot AC\\ SO \bot BD\\ AC \cap BD = O\\ AC,BD \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

b) $ABCD$ là hình thoi nên $AC\bot BD$

$\left\{ \begin{array}{l} AC \bot BD\\ AC \bot SO\\ SO \cap BD = O\\ SO,BD \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AC\\ BD \bot SO\\ SO \cap AC = O\\ SO,AC \subset \left( {SAC} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

Loigiaihay.com