Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ tới mặt phẳng $(ABC)$. Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác $ABC$;

b) $\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.$

Lời giải chi tiết

a) $H$ là hình chiếu của $O$ trên mp $(ABC)$ nên $OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC$.

Mặt khác: $OA ⊥ OB$, $OA ⊥ OC$

$\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC$

$\left\{ \begin{array}{l} BC \bot OH\\ BC \bot OA\\ OA \cap OH = O \end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)$

Mà $AH \subset \left( {OAH} \right)$ $\Rightarrow BC  ⊥ AH$ (1)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OB \bot OA\\OB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right)$

Mà $AC \subset \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC$

$OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AC$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right)$ $\Rightarrow AC \bot BH$ (2)

Từ (1) và (2) ta có tam giác $ABC$ có

$\left\{ \begin{array}{l} AH \bot BC\\ BH \bot AC\\ AH \cap BH = H \end{array} \right.$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

b) Trong mặt phẳng $(ABC)$ gọi $E = AH ∩ BC$

$\left\{ \begin{array}{l} OH \bot \left( {ABC} \right)\\ AE \subset \left( {ABC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow OH \bot AE$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\OE \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OE$ $\Rightarrow \Delta OAE$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $OAE$)

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\OE \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot OE$

Mà $OB \bot OC$ nên $\Delta OBC$ vuông tại $O$ có $OE$ là đường cao.

$\Rightarrow \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}$

Vậy $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}$$= \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}$ (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: $\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .$

Loigiaihay.com