Bài 27 trang 20 SGK Toán 9 tập 2

LG a

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1& & \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn. Đặt $u =\dfrac{1}{x},\ v =\dfrac{1}{y}$

Phương pháp giải:

Phương pháp đặt ẩn phụ:

+) Đặt điều kiện (nếu có)

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.

+) Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điền kiện $x ≠ 0, y ≠ 0$.

Đặt $\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x}  & & \\ v = \dfrac{1}{y} & & \end{matrix}\right.$ (với $u \ne 0,\ v \ne 0$ ).

Hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u - 3v = 3 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3u - 3v - \left( {3u + 4v} \right) = 3 - 5\\ 3u + 4v = 5 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v = -2  & & \\ 3u = 5- 4v & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7}   & & \\ 3u = 5- 4.\dfrac{2}{7} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7}   & & \\ u = \dfrac{9}{7} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn )\right.$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}& & \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{7}{9}& & \\ y = \dfrac{7}{2}& & \end{matrix}(thỏa\ mãn )\right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ${\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2} \right)}$.

LG b

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn. Đặt $u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}$.

Phương pháp giải:

Phương pháp đặt ẩn phụ:

+) Đặt điều kiện (nếu có)

+) Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

+) Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt.

+) Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x-2 \ne 0  & & \\ y-1 \ne 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \ne 2  & & \\ y \ne 1 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x -2}  & & \\ v = \dfrac{1}{y -1} & & \end{matrix}\right.$ (với $u \ne 0,\ v \ne 0$ ).

Hệ phương trình đã cho trở thành: 

$\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 2v = 4 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u + 2v - \left( {2u - 3v} \right) = 4 - 1\\ u + v = 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5v = 3 & & \\ u+v=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-v & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-\dfrac{3}{5} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=\dfrac{7}{5} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x -2} = \dfrac{7}{5}& & \\ \dfrac{1}{y -1} = \dfrac{3}{5}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x -2 = \dfrac{5}{7}& & \\ y - 1 = \dfrac{5}{3}& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{5}{7}+ 2& & \\ y = \dfrac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{19}{7}& & \\ y = \dfrac{8}{3}& & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ${\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{8}{3}  \right)}$.