Bài 26 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để:

a) Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}}&{{\rm{ khi }}\,\,\,\,\,\,x \ne  - 1}\\{{m^2}}&{{\rm{ khi }}\,\,\,\,\,\,\,x =  - 1}\end{array}} \right.\)  liên tục tại điểm \(x =  - 1\);

b) Hàm số \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,\,x \le 1}&{\rm{ }}\\{\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,\,x > 1}&{}\end{array}} \right.\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {x + 3} \right) = 2\).

+) \(f\left( { - 1} \right) = {m^2}\).

Hàm số liên tục tại \(x = -1\) khi:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \).

Vậy \(m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x =  - 1\).

b) Với \(x \in \left( {-\infty ;1} \right)\) có \(g\left( x \right) = 2x + m\) liên tục với mọi \(x \in \left( {-\infty ;1} \right)\).

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) có \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) liên tục với mọi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Tại x = 1 có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + m} \right) = 2 + m\).

+) \(g\left( 1 \right) = 2 + m\).

Do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1, hay:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) \)

\(= g\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy m = 1 thì hàm số \(g\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\).