Bài 24 trang 111 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$, dây $AB$ khác đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$, cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $C$. 

a) Chứng minh rằng $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng $15cm,\ AB=24cm$. Tính độ dài $OC$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $H$ là giao điểm của $OC$ và $AB$.

Xét đường tròn (O) có $OH\perp AB$ tại H mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn nên $HA=HB=\dfrac{AB}2$ (Định lý 2 - trang 103).

Suy ra $OC$ là đường trung trực của $AB$, do đó $CB=CA$ (tính chất)

Xét $\Delta CBO$ và $\Delta CAO$ có:

$CO$ chung 

$CA=CB$ (chứng minh trên) 

$OB=OA=R$

Suy ra $\Delta CBO=\Delta CAO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}$( 2 góc tương ứng)  (1)

Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên:

$AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}=90^{\circ}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CBO}=90^{\circ}$.

Tức là $CB$ vuông góc với $OB$, mà $OB$ là bán kính của $(O)$.

Vậy $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Ta có: $OA=OB=R=15 cm;$

$\ HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{24}{2}=12 cm$.

Xét tam giác $HOA$ vuông tại $H$, áp dụng định lí Pytago, ta có: 

$OA^2=OH^2+AH^2$

$\Leftrightarrow OH^{2}=OA^{2}-AH^{2}=15^{2}-12^{2}=81$

$\Rightarrow OH=\sqrt{81}=9(cm)$

Xét tam giác $BOC$ vuông tại $B$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$OB^{2}=OC\cdot OH \Rightarrow OC=\dfrac{OB^{2}}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25(cm).$