Bài 2.16 trang 55 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

a) \({u_n} = 5n\);

b) \({u_n} = {5^n}\);

c) \({u_1} = 1\), \({u_n} = n.{u_{n - 1}}\);

d) \({u_1} = 1\), \({u_n} = 5.{u_{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({u_1} = 5\), \({u_2} = 10\), \({u_3} = 15\), \({u_4} = 20\), \({u_5} = 25\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{5n}}{{5n - 1}} \) phụ thuộc vào n, \(\forall n \in {N^*}\).

Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

b) \({u_1} = 5\), \({u_2} = 25\), \({u_3} = 125\), \({u_4} = 625\), \({u_5} = 3125\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = 5\), \(\forall n \ge 2\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).

Số hạng tổng quát: \({u_n} = 5 . {5^{n - 1}}= 5^{n}\).

c) \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_3} = 6\), \({u_4} = 24\), \({u_5} = 120\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = n\) phụ thuộc vào n, \(\forall n \in {N^*}\).

Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

d) \({u_1} = 1\), \({u_2} = 5\), \({u_3} = 25\), \({u_4} = 125\), \({u_5} = 625\).

Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 5\), \(\forall n \ge 2\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).

Số hạng tổng quát: \({u_n} = {5^{n - 1}}\).