Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12

LG a

a) Tìm toạ độ tâm $I$ và tính bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$

Phương pháp giải:

Tâm I là trung điểm của AB: $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$ và bán kính $R = \frac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $AB$: $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {1;1;1} \right)$                 

$A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248$

$\Rightarrow AB = \sqrt {248}  = 2\sqrt {62}$

Vậy $R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62}$

LG b

b) Lập phương trình của mặt cầu $(S)$.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có bán kính $R$ có dạng: ${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu $(S)$

${\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62$

$\Leftrightarrow$ ${x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

LG c

c) Lập phương trình của mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $A$.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận $\overline {IA}$ là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $A$ chính là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với bán kính $IA$. Ta có:

$\overrightarrow {IA}  = (5; 1 ; -6)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0$

Loigiaihay.com