Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta luôn có

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \cr&= {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr  &= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} )^2} \cr  &  = {\overrightarrow {GA} ^2} - 2\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GB} ^2} - 2\overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2} \cr&+ {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GM}  + {\overrightarrow {GM} ^2}\cr&= {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {GM} ^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr  &= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr}$

LG b

Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}$, trong đó $k$ là một số cho trước.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng câu a), ta có

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}$

$\Leftrightarrow 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {k^2}$

$\Leftrightarrow 3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})$

$\Leftrightarrow M{G^2} = \frac{{{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})}}{3}$

+) Nếu ${k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]}$.

+) Nếu ${k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp các điểm $M$ chỉ gồm một phần tử là $G$.

+) Nếu ${k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp điểm $M$ là tập rỗng.

Loigiaihay.com