Giải bài 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi $16 cm$, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là $x;\ y\ \left( cm \right),\left( 0< x; y < 8 \right).$

Chu vi của hình chữ nhật là $16cm.$

Khi đó: $2\left( x+y \right)=16\Leftrightarrow x+y=8$ $\Leftrightarrow y=8-x.$

$\Rightarrow$ Diện tích: $S=xy=x\left( 8-x \right)=8x-{{x}^{2}}.$

Xét hàm số: $S\left( x \right)=8x-{{x}^{2}}$ trên $\left( 0;8 \right)$ ta có:

$S'\left( x \right)=8-2x$ $\Rightarrow S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4.$

Ta có: $S\left( 0 \right)=0;S\left( 4 \right)=16;S\left( 8 \right)=0.$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;8} \right)} S\left( x \right) = 16$ khi $x=4$.

$\Rightarrow y=8-x=4\ \ \left( tm \right).$

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh là $4cm.$

Cách khác:

Ta có:

$S\left( x \right) = 8x - {x^2}$ $= 16 - \left( {{x^2} - 8x + 16} \right)$ $= 16 - {\left( {x - 4} \right)^2} \le 16$ $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;8} \right)} S\left( x \right) = 16\,khi\,x = 4$

Loigiaihay.com