Giải bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12

LG a

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

$y = \dfrac 4 {1 + {x^2}}$;

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;\ b \right]$ ta làm như sau :

+) Tìm các điểm ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};...;{{x}_{n}}$ thuộc đoạn $\left[ a;\ b \right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)=0$ hoặc không có đạo hàm.

+) Tính $f\left( {{x}_{1}} \right);f\left( {{x}_{2}} \right);f\left( {{x}_{3}} \right);...;f\left( {{x}_{n}} \right)$ và $f\left( a \right);\ f\left( b \right).$

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$.

$\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}$

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số $y=f\left( x \right).$

Lời giải chi tiết:

$y=\dfrac{4}{1+{{x}^{2}}}.$

Tập xác định: $D=R.$

Ta có: $y'=\dfrac{-2x.4}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{-8x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại $x=0;$ ${y_{\max }} = 4$

Cách khác:

Ta thấy: $1+x^2\ge 1, \forall x$ nên $\dfrac{4}{{1 + {x^2}}} \le \dfrac{4}{1} = 4 \Rightarrow y \le 4$.

Vậy $\max y = 4$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$.

LG b

$y = 4{x^3} - 3{x^4}$

Lời giải chi tiết:

$y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.$

Tập xác định: $D=R.$

Ta có: $y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}$ $\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {4{x^3} - 3{x^4}} \right) =  - \infty$

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại $x=1;$ ${y_{\max }} = 1$.

Loigiaihay.com