Bài 2 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Biết dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}$ với mọi $n$. Chứng minh rằng $\lim u_n=1$.

Lời giải chi tiết

Vì $\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên theo định nghĩa thì

$\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý, kể từ một số hạng $N_0$ nào đó trở đi.

($\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}$. Chọn $N_0 =[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1$, tức là từ số hạng thứ $n$ mà $n > N_0$ thì $\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn $A$)

Mà $\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}$ nên $\left| {{u_n} - 1} \right| <A$ với mọi $n>N_0=[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1$

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn $0$ thì $\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0$

$\Rightarrow \lim {u_n} = 1$. (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$. Nếu có $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Cụ thể:

Vì $\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}$ và $\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên $\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 1$.

Loigiaihay.com