Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

$\left( \alpha \right):2x - y + 4z + 5 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):3x + 5y - z - 1 = 0$

Phương pháp giải:

- Gọi điểm M(x;y;z).

- Điểm M cách đều hai mp $\left( \alpha  \right)$ và $\left( {\alpha '} \right)$

$\Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Điểm $M\left( {x,y,z} \right)$ cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

$\eqalign{ & {{\left| {2x - y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y - z - 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr  & \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x - y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y - z - 1} \right| \cr  & \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {2x - y + 4z + 5} \right) = \pm \sqrt 3 \left( {3x + 5y - z - 1} \right) \cr}$

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:

$\eqalign{ & \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr  & \left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 - 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \cr}$

LG b

$\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):6x - 3y + 2z - 2 = 0$

Lời giải chi tiết:

Điểm $M\left( {x,y,z} \right)$ cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

$\eqalign{ & {{\left| {2x + y - 2z - 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x - 3y + 2z - 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr  7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = - 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 4x + 16y - 20z - 1 = 0 \hfill \cr  32x - 2y - 8z - 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr}$

Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:

$- 4x + 16y - 20z - 1 = 0\,\,;\,\,32x - 2y - 8z - 13 = 0$.

LG c

$\left( \alpha \right):x + 2y + z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):x + 2y + z + 5 = 0$

Lời giải chi tiết:

Điểm $M\left( {x,y,z} \right)$ cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

$\eqalign{ & {{\left| {x + 2y + z - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr  x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr}$

Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : $x + 2y + z + 2 = 0$.

Loigiaihay.com