Bài 17 trang 51 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

a) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = x + 1$ và $y = -x + 3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Hai đường thẳng $y = x + 1$ và $y = -x + 3$ cắt nhau tại $C$ và cắt trục $Ox$ theo thứ tự tại $A$ và $B$. Tìm tọa độ của các điểm $A,\ B,\ C$. 

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Lời giải chi tiết

a) Xem hình dưới đây:

+) Hàm số $y=x+1$:

Cho $x=0 \Rightarrow y=0+1=1 \Rightarrow M(0; 1)$

Cho $y=0 \Rightarrow 0=x+1 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow P(-1; 0)$

Đồ thị hàm số $y=x+1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P(-1; 0)$ và $M(0;1)$.

+) Hàm số $y=-x+3$

Cho $x=0 \Rightarrow y=0+3 =3 \Rightarrow N(0; 3)$

Cho $y=0 \Rightarrow 0=-x+3 \Rightarrow x=3  \Rightarrow Q(3; 0)$

Đồ thị hàm số $y=-x+3$ là đường thẳng đi qua hai điểm $Q(3; 0)$ và $N(0; 3)$. 

Ta có hình vẽ sau:

b)

+) $C$ là giao điểm của $y=x+1$ và $y=-x+3$ nên hoành độ của $C$ là nghiệm của phương trình:

$x+1=-x+3$

$\Leftrightarrow x+x=3-1$

$\Leftrightarrow 2x=2$

$\Leftrightarrow x=1$.

Tung độ của $C$ là: $y=1+1=2$.

Vậy $C(1; 2)$.

+) $A$ là giao điểm của $y=x+1$ và trục hoành $Ox:\, y=0$ nên hoành độ của $A$ là:

$x+1=0$

$\Leftrightarrow x=-1$

Vậy $A(-1; 0)  \equiv  P$.

+) $B$ là giao điểm của $y=-x+3$ và trục hoành $Ox:\, y=0$ nên hoành độ điểm $B$ là:

$-x+3=0$

$\Leftrightarrow -x+3=0$

$\Leftrightarrow x=3$

Vậy $B(3; 0) \equiv Q.$

c)

Ta có: $AB=3+1=4,$

+) Áp dụng định lí Py- ta-go trong tam giác HAC và HBC, ta tính được:

        $AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2$

        $BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt 8 =2\sqrt 2$

Do đó chu vi của tam giác $ABC$ là:

        $AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}(cm)$

+) Ta có: $BC^2+AC^2=(2\sqrt 2)^2+(2\sqrt 2)^2$$=8+8=16=4^2=AB^2$

Nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$. (Định lí Pytago đảo)

+) Diện tích của tam giác $ABC$ là:

$S=\dfrac{1}{2}.AC.BC=\dfrac{1}{2}.2\sqrt 2.2\sqrt 2=4(cm^2)$