Bài 13 trang 72 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

 Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

TH1:  Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

 

Giả sử $AB$ và $CD$ là các dây song song của đường tròn $(O)$. Ta chứng minh $\overparen{AC}$= $\overparen{BD}$.

Kẻ $OI \bot AB$ $(I \in AB)$ và $OK \bot CD (K\in CD)$.

Do $AB //CD$ nên $OI \bot CD$ (Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia )

Do đó, OI trùng với OK (Qua O chỉ có 1 đường thẳng vuông góc với CD) hay $I,O,K$ thẳng hàng.

Do các tam giác $OAB, OCD$ là các tam giác cân đỉnh $O$ nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$ và $\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}$

Ta có: $\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}$

Suy ra  $\overparen{AC}$= $\overparen{BD}$.

TH2: Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn $\left( O \right)$ có hai dây song song $AB//CD.$ Ta chứng minh cung $\overparen{AC}$  = $\overparen{BD}$ .

Qua $O$ kẻ đường kính $EG//CD \Rightarrow EG//AB$ .

Nối $OA,OC,OB,OD \Rightarrow OA = OB = OC = OD$ (= bán kính)

+ Xét tam giác $OAB$ cân tại $O\left( {{\rm{do}}\,OA = OB} \right)$ nên $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}$ (1)

Lại có $EG//AB \Rightarrow$ $\widehat {OAB} = \widehat {AOE};\,\widehat {OBA} = \widehat {BOG}$  (so le trong)  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat {EOA} = \widehat {BOG}$  (*)

+  Xét tam giác $OCD$ cân tại $O\left( {{\rm{do}}\,OC = OD} \right)$ nên $\widehat {OCD} = \widehat {ODC}$ (3)

Lại có $EG//CD \Rightarrow$ $\widehat {OCD} = \widehat {COE};\,\widehat {ODC} = \widehat {DOG}$  (so le trong)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EOC} = \widehat {DOG}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat {EOA} - \widehat {EOC} = \widehat {BOG} - \widehat {DOG} \Leftrightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOD}$ $\Rightarrow \overparen{AC}$$=\overparen{BD}$ (đpcm)