Bài 13 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Lời giải chi tiết

 

Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.

Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.

Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.

Ta có:

\(2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ \)\(\,= AC + BC - \left( {AI + BI} \right) = AC + BC - AB\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có :

\(2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP \)\(\,= AC + CD - \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD - AD\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM - CN} \right) = BC + AD - \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left( {BF - BE} \right) + \left( {CF - CG} \right) + \left( {AH - AE} \right) + \left( {DH - DG} \right)\\ = 0\end{array}\)

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\).

Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Loigiaihay.com