Bài 12 trang 56 SBT Hình học 12 Nâng cao

LG1

Chứng minh rằng các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ cùng thuộc một mặt cầu. Chỉ rõ tâm của mặt cầu đó và tính diện tích mặt cầu theo a, \(\alpha \) và khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Lời giải chi tiết:

Vì (P) đi qua \(I\) và \((P) \bot {d_2},{\rm{IJ}} \bot {d_2}\) nên \({\rm{IJ}} \subset (P).\)

Vì H₁ là hình chiếu của A₁ trên (P) nên \(\widehat {{A_1}I{H_1}} = \alpha \) và \({A_1}{H_1}//{d_2}\). Do mp(Q) song song với mp(P) và (Q) cắt d₁, d₂ tại A₁, A₂ nên \({A_1}{A_2}//J{H_1}\).

Suy ra \(J{H_1}{A_1}{A_2}\) là hình chữ nhật.

Mặt khác \(\widehat {JI{A_1}} = {90^0}\) vậy các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ cùng thuộc một mặt cầu, tâm mặt cầu là trung điểm O của JA₁, bán kính của mặt cầu là \(R = {1 \over 2}J{A_1}.\)

Ta có \(J{A_1}^2 = {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} + IA_1^2 = {a^2} + {{{h^2}} \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)

Từ đó \(R = {1 \over {2\sin \alpha }}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\alpha  + {h^2}} .\)

Diện tích mặt cầu là \(S = {\pi  \over {{{\sin }^2}\alpha }}({a^2}{\sin ^2}\alpha  + {h^2}).\)

LG 2

Chứng minh rằng khi mp(Q) thay đổi thì tâm mặt cầu nói trên luôn thuộc một đường thẳng cố định và mặt cầu ấy luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Khi mặt phẳng (Q) thay đổi thì A₁ luôn thuộc d₁ mà \(\overrightarrow {JO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {J{A_1}} ,\) vậy O thuộc đường thẳng d₃ đi qua trung điểm K của IJ và d₃ song song với d₁.

Xét mặt phẳng (R) chứa IJ và vuông góc với d₃ thì (R ) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn tâm K, mà K là trung điểm của IJ nên IJ là đường kính của đường tròn.

Đường tròn này cố định, từ đó ta có mặt cầu đi qua các điểm I, J, A₁, A₂, H₁ luôn đi qua một đường tròn cố định.

Loigiaihay.com