Bài 11 trang 94 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và B. Vẽ dây cung BC // PA. Gọi E là giao điểm thứ hai của PC với đường tròn (O) và F là giao điểm của BE và PA.

a) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng PFB và EFP, AFE và BFA.

b) Chứng minh PF = FA

Lời giải chi tiết

 

a) +) Ta có \(\widehat {FPE} = \widehat {ECB}\) (so le trong bằng nhau do AP // BC);

Lại có: \(\widehat {EBC} = \widehat {FBP}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

\( \Rightarrow \widehat {FPE} = \widehat {FBP}\).

Xét \(\Delta PFB\) và \(\Delta EFP\) có:

\(\widehat {BFP}\) chung;

\(\widehat {FPE} = \widehat {FBP}\,\,\left( {cmt} \right);\)

 \( \Rightarrow \Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {g.g} \right)\)

+) Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta BFA\) có:

\(\widehat {AFB}\) chung;

\(\widehat {EAF} = \widehat {ABF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)

 \( \Rightarrow \Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {g.g} \right)\)

b)  \(\Delta PFB \sim \Delta EFP\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{PF}}{{EF}} = \dfrac{{BF}}{{PF}} \Rightarrow P{F^2} = EF.BF\) (1)

\(\Delta AFE \sim \Delta BFA\,\,\left( {cmt} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{FA}}{{BF}} = \dfrac{{EF}}{{FA}} \Rightarrow F{A^2} = EF.BF\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P{F^2} = F{A^2} \Rightarrow PF = FA\) (đpcm).

Loigiaihay.com