Bài 14 trang 95 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

Lời giải chi tiết

 

Do \(MB = MC\) (*) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta MBC\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)  (1) (hai góc ở đáy).

Ta có: \(\widehat {BCD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot CD\) hay \(BC \bot AD \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C.

\( \Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {MBC} = {90^0}\) (2) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau).

Lại có: \(\widehat {MCA} + \widehat {MCB} = \widehat {ACB} = {90^0}\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} \Rightarrow \Delta MAC\) cân tại M \( \Rightarrow MA = MC\) (**).

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow MA = MB\). Lại có \(M \in AB \Rightarrow M\) là trung điểm của AB.

 Loigiaihay.com