Bài 11 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x + 4} }&{khi\,\,x \ge 0}\\{2\cos x}&{khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.$.

Lời giải chi tiết

Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, hàm số $f\left( x \right)$ là hàm căn thức xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$, hàm số $f\left( x \right)$ là hàm lượng giác xác định trên $\left( { - \infty ;0} \right)$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 4}  = 2$

Ta có:       $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 4}  = \sqrt {0 + 4}  = 2$

                   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 2\cos x = 2\cos 0 = 2$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 2$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2 = f\left( 0 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại điểm $x = 0$.

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.