Bài 11 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Biết \({4^\alpha } + {4^{ - \alpha }} = 5\).

Tính giá trị của các biểu thức:

a) \({2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}\);

b) \({4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({\left( {{2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{2^\alpha }} \right)^2} + {2.2^\alpha }{.2^{ - \alpha }} + {\left( {{2^{ - \alpha }}} \right)^2} = {4^\alpha } + 2 + {4^{ - \alpha }} = \left( {{4^\alpha } + {4^{ - \alpha }}} \right) + 2 = 5 + 2 = 7\)

Vậy \({2^\alpha } + {2^{ - \alpha }} = \sqrt 7 \).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + {\left( {{4^{ - \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + {2.4^\alpha }{.4^{ - \alpha }} + {\left( {{4^{ - \alpha }}} \right)^2} - {2.4^\alpha }{.4^{ - \alpha }}\\ = {\left( {{4^\alpha } + {4^{ - \alpha }}} \right)^2} - 2 = {5^2} - 2 = 23\end{array}\)

Vậy \({4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }} = 23\).