Bài 11 trang 104 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, dây $CD$ không cắt đường kính $AB$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH=DK$

Gợi ý: Kẻ $OM$ vuông góc với $CD$.  

Lời giải chi tiết

Vẽ $OM \bot CD$ 

Vì OM là một phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên ta có M là trung điểm CD hay $MC=MD$   (1) (định lý)

Tứ giác $AHKB$ có $AH \bot HK;\ BK \bot HK \Rightarrow HA // BK$.

Suy ra tứ giác $AHKB$ là hình thang.  

Xét hình thang $AHKB$, ta có:

$OM // AH //BK$ (cùng vuông góc với $CD$)

mà $AO=BO=\dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow MO$ là đường trung bình của hình thang $AHKB$.

$\Rightarrow MH=MK$   (2)

Từ (1) và (2)  $\Rightarrow MH-MC=MK-MD \Leftrightarrow CH=DK$ (đpcm)

Nhận xét: Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm $C$ và $D$ cho nhau.