Bài 104 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 104 trang 122 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} = {R^2}\) và điểm \(M(x_0 ; y_0)\) nằm ngoài \((C)\). Từ \(M\) ta kẻ hai tiếp tuyến \(MT_1\) và \(MT_2\) tới \((C)\) (\(T_1, T_2\) là các tiếp điểm).

a) Viết phương trình đường thẳng \(T_1T_2;\)

b) Giả sử \(M\) chạy trên một đường \(d\) cố định không cắt \((C)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua một điểm cố định.

 

Lời giải chi tiết

(h.130).

 

Giả sử \({T_1} = ({x_1} ; {y_1}) ,  {T_2} = ({x_2} ; {y_2})\). Đường tròn \((C)\) có tâm \(O(0 ; 0)\), bán kính \(R.\) Phương trình tiếp tuyến \(MT_1\) có dạng \({x_1}x + {y_1}y = {R^2}\) và tiếp tuyến \(MT_2\) có dạng

\(\begin{array}{l}{x_2}x + {y_2}y = {R^2}\\M \in M{T_1} , M \in M{T_2}\\    \Rightarrow     \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_0} + {y_1}{y_0} = {R^2}\\{x_2}{x_0} + {y_2}{y_0} = {R^2}.\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \(({x_1} ; {y_1}) ,  ({x_2} ; {y_2})\) là các nghiệm của phương trình \({x_0}x + {y_0}y = {R^2}\).    (1)

Vì \(M\) nằm ngoài \((C)\) nên \(x_0^2 + y_0^2 > 0\), do đó (1) là phương trình đường thẳng. 

Vậy phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là \({x_0}x + {y_0}y - {R^2} = 0\).

b) Xét trường hợp đường thẳng cố định \(d\) có phương trình dạng: \(x = a  (|a| > R)\). Khi đó \(M=(a ; y_0)\) phương trình \(T_1T_2\) là \(ax + {y_0}y - {R^2} = 0\). Dễ thấy đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua điểm cố định \(\left( { \dfrac{{{R^2}}}{a} ; 0} \right)\).

Xét trường hợp đường thẳng \(d\) có phương trình dạng \(y=kx+m\). Do \(d\) không cắt \((C)\) nên \(m \ne 0\). Ta có \(M = ({x_0} ; k{x_0} + m)\). Phương trình đường thẳng \(T_1T_2\) là

\({x_0}x + (k{x_0} + m)y - {R^2} = 0\) hay \({x_0}(x + ky) + my - {R^2} = 0\).

Ta tìm được điểm cố định mà đường thẳng \(T_1T_2\) luôn đi qua là \(\left( { \dfrac{{ - k{R^2}}}{m} ;  \dfrac{{{R^2}}}{m}} \right)\).

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài