Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(Q(2 ; 3)\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(M, N\) khác điểm \(O\) sao cho \(OM+ON\) nhỏ nhất. Lời giải chi tiết Giả sử \(M=(m ; 0), N=(0 ; n)\) với \(m, n >0\). Phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1\). \(Q \in \Delta \Rightarrow \dfrac{2}{m} + \dfrac{3}{n} = 1 \Rightarrow n = \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\) (dễ thấy \(m \ne 2\)). Do \(n > 0\) nên \(m > 2.\) Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có \(\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m + \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 + \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}} + 5 = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - 2 = \dfrac{6}{{m - 2}}\) hay \(m = 2 + \sqrt 6 \) (do \(m > 0\)). Suy ra \(n = 3 + \sqrt 6 \). Vậy \(OM+ON\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 6 + 5\) khi \(m = 2 + \sqrt 6 \) và \(n = 3 + \sqrt 6 \). Khi đó phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|