Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứng minh $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ( dạng đoạn chắn) rồi chứng minh $D \notin \left( {ABC} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

$(ABC)$: ${x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1$ $\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$

Thế các toạ độ của $D$ vào vế phải của phương trình mặt phẳng $(ABC)$, ta có: $-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0$

Vậy $D ∉ (ABC)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, suy ra $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0);\;\;\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right);\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right].\;\overrightarrow {CD} \; = ( - 2).1 + 1.1 + ( - 2).1 = - 3 \end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {CD} \;$ không đồng phẳng.

$\Rightarrow A, B, C, D$ không đồng phẳng

$\Rightarrow A, B, C, D$ là 4 đỉnh của hình tứ diện

LG b

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Phương pháp giải:

Gọi $α$ là góc giữa hai đường thẳng $AB, CD$ ta có: $\cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\displaystyle α$ là góc giữa hai đường thẳng $\displaystyle AB, CD$ ta có:

$\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|$

$\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right)$ $\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$

Ta có: $\displaystyle \overrightarrow {AB}  = ( - 1,1,0)$, $\displaystyle \overrightarrow {CD}  = ( - 2,1, - 2)$

$\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3$

$\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2$

$\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3$

$\displaystyle \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}$ $\Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) =  45^0$ $\displaystyle  \Rightarrow  α = 45^0$

LG c

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp $A.BCD$.

Phương pháp giải:

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng $d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)$.

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là:  $$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\displaystyle \overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),$ $\displaystyle \overrightarrow {BD}  = ( - 2;0; - 1)$

Gọi $\displaystyle \overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của $\displaystyle (BCD)$ thì: 

$\displaystyle \overrightarrow n_{(BCD)}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]$ $\displaystyle = (1; -2; -2)$

Phương trình mặt phẳng $\displaystyle (BCD)$:

$\displaystyle 1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0$

Chiều cao của hình chóp $\displaystyle A.BCD$ bằng khoảng cách từ điểm $\displaystyle A$ đến mặt phẳng $\displaystyle (BCD)$:

$\displaystyle h = d(A,(BCD)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {(-2)^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $\displaystyle = {3 \over 3} = 1$

Loigiaihay.com