Bài 1 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( {ABC} \right)$.

a) Chứng minh rằng $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Chứng minh rằng $\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$

$SAC$ là tam giác đều $\Rightarrow SH \bot AC$

Mà $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC$

Lại có $AC \bot BC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$

b) $SAC$ là tam giác đều $\Rightarrow AI \bot SC$

$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\\AI \subset \left( {ABI} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$